Af Lalitanatha Dasa
I sidste nummer af Nyt fra Hare Krishna skrev Jahnu Prabhu om, hvordan matematikken stammer fra Vedaerne. Jeg vil gerne bruge anledningen til at skrive mere om dette over et par artikler.
Først vil jeg skrive lidt om det historiske og se på nogle af de vigtigste klassiske og nyere indiske matematikere. Derefter forestiller jeg mig i næste nummer at gennemgå nogle eksempler på enkel vedisk aritmetik med nogle praktiske regneregler, der kan hjælpe én til f.eks. at gange og dividere ret store tal i hovedet uden brug af papir for slet ikke at tale om lommeregnere og computere.
Engang stødte jeg ind i en mand, der var totalt afvisende over for de bøger, jeg forsøgte at sælge til ham på gaden. ”Vi skylder Indien nul,” udbrød han nedladende og gik videre. Han var ikke klar over, hvor ret han havde. Ikke bare nullet, men selve titalssystemet eller decimalsystemet kommer fra Indien, hvorfra det kom til Europa via Arabien i Middelalderen. I min skoletid lærte vi, at vores tal var arabiske tal. Men araberne havde dem kun på grund af deres kontakt med Indien. Uden decimalsystemet inklusive nullet ville det moderne samfund ikke kunne lade sig gøre. Tænk, hvis vi stadig skulle lave beregninger med romertal!
Vi skylder helt sikkert Indien nul plus meget andet. Matematikken er en gave fra det vediske Indien, hvor dens oprindelse fortoner sig i en fjern fortid. Fra Sulba-sutraerne i Vedaerne kender vi decimalsystemet, tallet 0, ligninger med ukendte faktorer repæsenteret af bogstaver, det moderne talsystem, aritmetik, kvadrat- og kubikrødder, geometri og trigonometri.
Matematik fandt anvendelse i den vediske kultur inden for arkitektur, astronomi, astrologi, kosmologi mm. Eksempelvis finder vi i Srimad-Bhagavatam tidsenheder formuleret på basis af atomare bevægelser fra cirka 1/10.000 del af et sekund op til universets totale livslængde på 311 billioner og 60 milliarder år.
Aryabhata (476–550)
Den vigtigste matematiker i nyere tid var nok Aryabhata, der byggede videre på en meget ældre viden, hvis eksponenter ikke kendes længere. Hans værker inkluderer Aryabhatiya, hvor han nævner, at i år 3.600 inde i Kali Yuga (år 499) var han 23 år gammel, og Arya-siddhanta. Aryabhatiya har overlevet og findes stadigvæk, imens Arya-siddhanta kun kendes fra omtale i andre matematikeres kommentarer.
En tredje tekst fra Aryabhata har måske overlevet i en arabisk oversættelse, selv om dens sanskritnavn ikke kendes. I hvert fald nævner en persisk lærd fra det 9. århundrede, Abu Rayhan al-Biruni, at teksten Al ntf eller Al-nanf er en oversættelse fra Aryabhata.
Aryabhatas vigtigste bedrift var hans systematisering af viden inden for astronomi og matematik, der var blevet bevaret i mundtlig overlevering. Han skrev selv, at al viden kom til ham ved Svayambhu (Herren Brahmas) nåde.
Aryabhatiya indeholder regler for udregning af kvadrat- og kubikrødder, formler for en cirkels areal og en sfæres rumfang, en beregning af π (pi) til 3,1416 (hvilket er præcist ned til to dele i en million), en regel for efterprøvning af regnestykker ved hjælp af tværsum, regler for løsning af andengradsligninger og Pythagoras’ sætning (uafhængigt af Pythagoras).
Aryabhatas måske mest åbenlyse bidrag er trigonometrien, hvis grundbegreber sinus og cosinus går tilbage til ham. Aryabhata kaldte sinus for ardha-jya, der bogstaveligt betyder ”halv korde”. Almindeligt sprog forenklede det til jya, som araberne oversatte som jiba, der blev forkortet til jb. Senere oversættere erstattede det med jaib, der på arabisk betyder ”lomme” eller ”fold” i et klæde. Senere i det 12. århundrede oversatte Gerardo af Cremona det arabiske jaib til latin som sinus, der betyder ”vig” eller ”bugt”. Siden da har trigonometriens to grundstørrelser været kendte som sinus og cosinus.
Aryabhata var også inde på, at π er et irrationelt tal, hvilket er bemærkelsesværdigt, da dette først blev bevist i Europa i 1761 af matematikeren Lambert.
Ud over matematik bidrog Aryabhata væsentligt til astronomi og fysik, bl.a. gennem sin omtale af relativ bevægelse.
Pingala (ca. 150 f.Kr.)
Pingala anses for grundlæggeren af kombinatorik og den første, der anvendte det binære talsystem. Hans kendteste værk er Candahsastra, en afhandling på sanskrit om vers og rytme. Pingala beskrev og anvendte mange avancerede kombinatorikformler, som først blev udviklet i Vesten i 1600- og 1700-tallet. Den berømte Fibonacci-sekvens finder man også hos Pingala (men Fibonacci var også kendt for at have studeret indisk matematik).
Brahmagupta (ca. 598 – ca. 668)
Det vigtigste værk af Brahmagupta er Brahma-sphuta-siddhanta. Som det er normen i vedisk tradition er bogen skrevet i versform uden logiske beviser. Brahmagupta undersøger løsninger på diofantiske ligninger, har en algebraisk formel, der nu kaldes Brahmagupta-Fibonacci identitet, giver algoritmiske regler for multiplikation af tal, en metode til beregning af en trekants areal mm.
Bhaskacarya (1114 – 1185)
Bhaskacaryas berømteste værk er Siddhanta-siromani, der indeholder fire dele: aritmetik, algebra og to dele om planetbevægelser. Bhaskacarya beskrev beregningsregler med mange praktiske eksempler. Han systematiserede metoder til løsning af forskellige ligninger og formulerede grundlæggende begreber, der er basis for, hvad der senere blev til differential- og integralregning. Bhaskacarya udviklede også grundlaget for sfærisk trigonometri.
Madhava (1350 – 1425)
Madhava grundlagde Keralaskolen for astronomi og matematik. Han er specielt berømt for sin trigonometri.
Srinivasa Ramanujan (1887 – 1920)
Srinivasa Ramanujan var det 20. århundredes repræsentant for den indiske matematiktradition. Han anses for at være et af de største matematiske genier nogensinde, selv om han næsten ingen formel træning havde i ren matematik. Han gav væsentlige bidrag til matematisk analyse, talteori, uendelige serier og kædebrøker. Han fandt løsninger på matematiske problemer, der var anset for at være uløselige. Formler, der blev udviklet af Ramanujan, har fundet anvendelse i nyere tid inden for mange videnskabsgrene, der var ukendte på hans tid. Ramanujan blev valgt til medlem af The Royal Society og givet et æreprofessorsæde på universitetet i Cambridge som den første inder nogensinde.
Bhaktisiddhanta Sarasvati
Glemmes må heller ikke Srila Bhaktisiddhanta Sarasvati, selv om vi mest kender ham som vores acarya og Srila Prabhupadas åndelige mester. Ikke desto mindre var han også en betydelig matematiker og astronom. I 1888 begyndte han som 14-årig at oversætte fra sanskrit til bengalsk med personlige kommentarer to vigtige klassiske astronomiske afhandlinger: Siddhanta-siromani (færdiggjort i 1893) og Surya-siddhanta (færdiggjort i 1896). Som anerkendelse af hans enestående bidrag til både østerlandsk og vesterlandsk astronomi blev han som 15-årig givet titlen Siddhanta Sarasvati og udnævnt til æresprofessor ved Calcuttas Universitet.